Representasi Atomik dari Semigrup Bebas F_n

Abstract

A free semigroup Fn contains all words which are generated by non-commuting n letters. The algebra which is generated by Fn is called a free semigroup algebra. Every generator of Fn is mapped onto an isometry, so this algebra is generated by an n-tuple of isometries (S1, ..., Sn) with pairwise orthogonal range. One of the class representation of free semigroup algebra is atomic representation of free semigroup Fn. An n-tuple of isometries (S1, ..., Sn) is free atomic if there is an orthonormal basis {ξk} for H for which there are endomorphisms πi : N → N (where 1 ≤ i ≤ n) and scalars λi,k in T satisfying Si ξk = λi,k ξπi(k). The corresponding representation of Fn then is called an atomic representation. Later, atomic representation is classified up to unitary equivalence and is shown to be direct sum of irreducible atomic subrepresentations.

ABSTRAK

Misalkan Fn sebuah semigrup bebas yang memuat semua word yang dibangun oleh non-commuting n letters. Aljabar yang dibangun oleh Fn disebut aljabar semigrup bebas di mana setiap generatornya dipetakan ke suatu isometri, sehingga aljabar semigrup bebas merupakan aljabar yang dibangun oleh n-tuple isometri (S1, ..., Sn) dengan range yang pairwise orthogonal. Sebuah n-tuple isometri (S1, ..., Sn) dikatakan atomik bebas jika terdapat basis ortonormal {ξk} dari ruang Hilbert H, sedemikian sehingga terdapat endomorfisma πi : N → N (di mana 1 ≤ i ≤ n) dan skalar λi,k ∈ T yang memenuhi Si ξk = λi,k ξπi(k). Representasi dari Fn yang berkorespondensi dengan isometri yang atomik bebas tersebut disebut dengan representasi atomik. Selanjutnya representasi atomik ini diklasifikasikan berdasarkan relasi unitary equivalence dan ditunjukkan bahwa representasi atomik secara umum dapat didekomposisi menjadi direct sum dari subrepresentasi atomik yang ireduksibel.